‘되-’는 ‘되다’의 어간으로 뒤에 자음으로 시작되는 어미가 오는 경우에 사용됩니다.
반면 ‘돼’는 ‘되-’에 모음으로 시작되는 어미가 오는 경우에 이와 결합된 형태가 준말로 나타나 ‘돼’가 됩니다.

예를 들면 다음과 같습니다.

1) ‘되-’
‘되+고’, ‘되+지만’, ‘되+면’, ‘되+거든’, ‘되+려면’

2) ‘돼’
‘돼요(되+어요)’, ‘됐습니다(되+었+습니다)’, ‘됐답니다(되+었+답니다)’

출처 : 국립국어원



'돼'는 '되어'의 준말입니다.
따라서 '되'가 '어'와 결합할 때에만 '돼'로 쓸 수 있습니다.
즉, '되었다', '되어', '되어서' 등은 '됐다', '돼', '돼서' 등으로 쓸 수 있지만
'되'가 다른 어미와 쓰일 때에는 '돼'로 줄지 않습니다.

쉽게 말해 '돼'는 '되어'를 줄인 말인 만큼 '되어...'로 써서 같은 뜻이면 '돼'를 쓰면 됩니다.
따라서 '처리돼지'는 '처리되어지'가 바르지 않으므로 '처리되지'로 써야 하겠죠.

틀린 예로는 '*돼게', '*왜어'나 '*돼어' 따위가 있으며,
바른 예로는 '되게', '외어', '왜'나 '돼' 따위가 있습니다.
비슷한 예는 '외다'가 있습니다.

출처 : 국어평생교육 * 우리말 배움터